FORMAÇÃO DE CONCEITOS MATEMÁTICOS
❈ Referencial teórico❈
A matriz da esperança é a mesma da educabilidade do ser humano: o inacabamento de seu ser de que se tornou consciente. Seria uma agressiva contradição se, inacabado e consciente do inacabamento, o ser humano não se inserisse num permanente processo de esperançosa busca. (FREIRE, 2000b, p. 114)
Diante dos pressupostos discutidos no início deste estudo, Vygotsky (1995) e Davydov (1988) são os autores que mais contribuem na construção e organização teórica da presente pesquisa. Um dos focos para esse estudo volta-se, para o destaque da história como um dos recursos didáticos para o ensino, visto que, dela podemos reconhecer o que foi criado, transformado e modificado pela humanidade que colaboraram significativamente para o entendimento do que sabemos hoje sobre a ciência. Assim, estas descobertas e estudos desempenham um importante papel na história da humanidade.
D'Ambrósio (1999, p. 97) em sua obra: Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas destaca as contribuições a respeito do papel da história da matemática na humanidade:
As ideias matemáticas comparecem em toda a evolução da humanidade, definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente, criando e desenhando instrumentos para esse fim, e buscando explicações sobre os fatos e fenômenos da natureza e para a própria existência. Em todos os momentos da história e em todas as civilizações, as ideias matemáticas estão presentes em todas as formas de fazer e de saber.
Perante esta afirmação, os atuais Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNS) assumem a responsabilidade de inserir, em seus pilares, argumentos que justificam o trabalho com a História da Matemática, pois:
A própria História da matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculos de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas relacionados à investigação interna à própria matemática (BRASIL, 1997, p. 40).
A abordagem da História da Matemática no 5º ano do Ensino Fundamental proporciona um processo de aprendizagem que passaria a ser visto como um fio condutor gerido pela História, e ofertado, como processo de troca significativa entre o ensino elaborado por Davydov (1988). De acordo com esse autor, primeiro, os alunos aprendem o aspecto genético dos objetos, em seguida, reconhece o processo de operar da ciência, ou seja, formula o conhecimento científico. Posterirormente familiariza e utiliza o método geral para análise e solução de problemas envolvendo esses objetos. Utilizando o método geral, os alunos resolvem tarefas concretas, compreendem a relação entre o todo e as partes. A este procedimento mental, Davydov (1978) denominou de pensamento teórico, e a história do objeto articula-se com todo o processo do pensamento teórico, e torna-se imprescindível o uso dos aspectos genéticos como uma ferramenta ativa para o aluno apoderar-se de novas formações.
Todavia, a afirmação de que o processo do desenvolvimento e da transformação de qualquer ciência no campo da História passa antes de tudo por uma lógica interna, o ensino-aprendizagem necessita passar por uma mudança que busque um equilíbrio verdadeiro na construção do conhecimento científico articulado com a lógica interna e a história da evolução conceitual.
Ante o exposto, Davydov (1988) afirma que o Ensino Desenvolvimental apoia-se na elaboração e organização de atividades que incorporam a cultura em sua formação, cujo objetivo é o domínio do conhecimento teórico por meio dos símbolos e instrumentos culturais para a aprendizagem de conceitos.
Ao realizar o estado da arte sobre o Ensino Desenvolvimental, constatamos que essa teoria está se consolidando, apesar de haver poucos estudos realizados. O campo de pesquisa da Psicologia da Educação vem sendo investigado por grupos de pesquisadores de algumas instituições acadêmicas brasileiras, como as instituições: Pontifícia Universidade Católica de Goiás (PUC-GO), Universidade Federal de Uberlândia (UFU), Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL) e Instituto Federal de Educação de Goiás (IFG).
A contribuição desta teoria para o ensino de conceitos geométricos nos anos iniciais do ensino fundamental integrou-se também o ensino da HM que aponta um estudo substancial em relação à transposição do pensamento empírico para o pensamento teórico, isso, desperta uma reflexão quanto ao trabalho docente, e nos alunos nova posturas e estratégias investigativas que resulta em um emponderamento perante a formação de conceitos.
Contudo, para compreendermos a importância do ensino de conceito geométrico nos Anos iniciais do ensino fundamental (AIEF), torna-se fundamental reconhecermos as habilidades que devem ser aprofundadas com o ensino da matemática nos AIEF, citado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNS) que expõe:
A Matemática comporta um amplo campo de relações, regularidades e coerências que despertam a curiosidade e instigam a capacidade de generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturação do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico. Faz parte da vida de todas as pessoas nas experiências mais simples como contar, comparar e operar sobre quantidades. Nos cálculos relativos a salários, pagamentos e consumo, na organização de atividades como agricultura e pesca, a Matemática se apresenta como um conhecimento de muita aplicabilidade. Também é um instrumental importante para diferentes áreas do conhecimento, por ser utilizada em estudos tanto ligados às ciências da natureza como às ciências sociais e por estar presente na composição musical, na coreografia, na arte e nos esportes. Essa potencialidade do conhecimento matemático deve ser explorada, da forma mais ampla possível, no ensino fundamental (BRASIL, 1997, p. 24).
Um dos objetivos do ensino da Matemática nos AIEF é possibilitar o desenvolvimento matemático a partir das práticas socioculturais e das suas aplicabilidades. As potencialidades exploradas na primeira etapa do ensino priorizam não só as vivências, mas, favorece em sua maioria condições para o desenvolvimento do raciocínio lógico.
Entretanto, quando pensamos no ensino de Matemática transmitido há tempos atrás, não muito distante várias imagens nos vêm à mente. Essas lembranças rementem as atividades realizadas com bolinhas de papel, números com rosto de personagens de desenhos animados na pré-escola, às infinitas continhas de adição e subtração, competições de tabuada com o reforço positivo de carimbos no caderno e as expressões numéricas que ocupavam folhas inteiras do caderno.
Ainda hoje, várias dessas atividades continuam sendo aplicadas nas escolas, mas uma forma de mudar essa realidade consiste em compreender para quem estamos educando e com qual intuito estamos fazendo isso. Desta forma, o ensino da matemática deve ser organizado, segundo os PCNS, com os objetivos de levar o aluno a:
•Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;
• fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto de vista do conhecimento e estabelecer o maior número possível de relações entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente;
• resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis [...] (BRASIL, 1997, p.37).
Neste sentido, a seleção e a organização do Currículo de Matemática para os AIEF devem contemplar os números e as operações, o estudo do espaço e da forma e, por último, as grandezas e as medidas. Além dos desafios que se têm sobre estes campos vastos da Matemática nos AIEF, é de extrema relevância explorar os conhecimentos apropriados para desenvolver competências, habilidades intelectuais, construir a coordenação do pensamento lógico dedutivo, da criatividade e da capacidade de análise crítica que constituem os esquemas lógicos que interpretam fatos e fenômenos.
Assim, a elucidação dos objetivos que pretendemos atingir, por meio da educação matemática nos AIEF, comprova, mais uma vez, a tarefa desafiadora de ampliar habilidades que serão introduzidas, aprofundadas e consolidadas nesta primeira fase.
Diante da realidade atual em que se encontra o ensino de Matemática, salientamos com base no processo de aquisição numérica, um panorama com práticas mecanizadas e sem estímulos. Esta didática tem sido propagada e consequentemente, revelando fragilidades e o insucesso escolar.
No entanto, esta postura elencada acima, desencadeia reflexões sobre como é o ensino e a formulação de conceitos geométricos. Isso porque, o pensamento geométrico possui um aspecto relevante no ensino, e a sistematização desse pensamento proporciona uma leitura significativa do mundo, em especial, para a compreensão do espaço que nos circunda.
Por outro lado, a história da Matemática torna-se um recurso importante na formação de significados, por proporcionar um interesse maior no campo da Matemática. De acordo com D' Ambrósio (2004, p. 10), o uso da História da Matemática permite: "situar a matemática como um manifesto cultural do povo em todos os tempos, com a linguagem, os costumes e valores, as crenças e os hábitos, e como tal, diversificada nas suas origens e na sua evolução". Deste modo, o ensino da HM pode auxiliar no processo de formação de conceitos geométricos visto que, a história desperta em seus ouvintes algumas competências: a) no processo cognitivo, b) na percepção, c) na capacidade de trabalhar com imagens mentais, d) nas abstrações, e) nas generalizações, f) nas discriminações e g) nas classificações de figuras geométricas.
Isso posto, Bulos (2011, p. 5), ressalta:
A geometria pode ser o caminho para desenvolvermos habilidades e competências necessárias para a resolução de problemas do nosso cotidiano, visto que o seu entendimento nos proporciona o desenvolvimento da capacidade de olhar, comparar, medir, adivinhar, generalizar e abstrair.
A Geometria oferece uma grande possibilidade de se conectar com outros conteúdos, além de disponibilizar um envolvimento entre a aritmética e álgebra. Por outro lado, ela é um conteúdo que pode ser trabalhado com materiais manipuláveis, como salienta Montessori (1965), em um dos seus pressupostos, que a potencialidade do material palpável incentiva à descoberta autônoma e pode resultar em formações cognitivas sobre determinado conteúdo da geometria.
Para Borges (2009), é na fase da infância, que a geometria deve começar, visto que a criança já está em contato com os objetos que a cercam, o que proporciona o reconhecimento, elaboração de hipóteses, atividades de encaixe e empilhamento. Estas atividades facilitam a compreensão de conceitos nos anos seguintes.
Para Pais (2000, p. 14),
O uso de materiais didáticos no ensino da geometria deve ser sempre acompanhado de uma reflexão pedagógica para que, evitando os riscos de permanência em um realismo ingênuo ou de um empirismo, contribua na construção do aspecto racional. Uma compreensão inicial pode induzir um aparente dualismo entre as condições concretas e particulares dos recursos didáticos em oposição às condições abstratas e gerais das noções geométricas. Mas esta dualidade não deve ser vista como polos isolados do processo de construção conceitual, deve ser superada pela busca de um racionalismo aberto, dialogado e dialetizado. Em suma, devemos sempre estimular um constante vínculo entre a manipulação de materiais e situações significativas para o aluno.
O autor afirma também que o recurso didático no ensino da Geometria deriva do dualismo entre racionalismo e empirismo que, na maioria das vezes, está relacionada com uma visão empírica, desconectada dos conceitos geométricos. Todavia, para Miguel e Miorim (2011), utilizar a HM como um recurso didático em sala de aula pode levar os educandos ao entendimento de objetivos importantes quanto à criação humana, razões do uso da matemática e, às conexões existentes entre a matemática e as outras disciplinas.
A relevância de trabalhar com a História torna-se, então, um ato desejável para a formação do homem contemporâneo, pois, para Jones (1969), o uso da História seria o início de uma preparação metadisciplinar com o desafio de ensinar sob uma visão ampla, epistemológica, filosófica e ontológica. Não obstante, a transformação de qualquer ciência em um entendimento lógico é uma tarefa intencional na aprendizagem da HM a serviço de um equilíbrio dialético entre a lógica interna e a história de sua evolução conceptual.
Em contrapartida, a realidade que se tem é outra, o ensino segundo Tardif (2010), ainda permanece no saber acadêmico, no qual a fragmentação e o conhecimento isolado persistem, e ocasiona uma aprendizagem efêmera e alienante.
A História mostra evidências de que a Matemática não se limita a um sistema de regras e verdades severas, mas, além de relatar, de forma clara, os porquês da Matemática e suas implicações (PACHECO & PACHECO 2010). Portanto, é fundamental dispor a HM como um recurso didático em sala de aula, ampliando, assim, novas perspectivas quanto ao processo do ensino de Matemática.
Já Struik (1985) defende que a História da Matemática pode contribuir para o ensino de outras ciências, e para o entendimento das heranças culturais existentes. Outra razão para que a abordagem da História ocorra é a compreensão das tendências da educação matemática entre os estudos do passado e do presente, além de ilustrar e tornar mais interessante o ensino de Matemática.
Outro recurso auxiliar usado neste trabalho é a tecnologia, aplicada sob a perspectiva da mediação pedagógica, com a finalidade de investigar as suas contribuições no ensino da matemática. A tecnologia segundo Valente (1999) é um campo vasto de potencialidades, entretanto, há um desafio importante no que se refere ao uso didático da tecnologia, pois, torna-se essencial garantir o acesso aos benefícios das tecnologias digitais aos sujeitos usuários e o uso didático deste aparato deve ter objetivos definidos, no sentido de, desenvolver habilidades e competências que despertem a interação do sujeito aluno no contextual atual de mudanças. Isso requer um sujeito atento às transformações e que tenha a capacidade de melhorar e direcionar suas ideias e ações.
Contudo, buscamos com a tecnologia despertar nos sujeitos desta pesquisa a interação com o software Hagáquê com a finalidade de construir uma relação entre aluno, história do conceito nuclear do objeto e a mediação aluno-professor e professor-aluno.
O clube da matemática também está presente neste estudo sob a perspectiva de um ambiente de aprendizagem capaz de ampliar as estruturas interpessoais e psíquicas dos sujeitos envolvidos na pesquisa. A escolha deste ambiente ocorreu por considerarmos o clube de matemática um espaço próprio para a organização de ações educativas. Posto isso, a junção deste ambiente com a proposta de construção do experimento didático formativo e a teoria do ensino desenvolvimental veio completar a pesquisa.
Desta forma, a contribuição da Teoria do Ensino Desenvolvimental na educação matemática se dá pelos pressupostos de Vasili Vasilievich Davydov, que nasceu em 1930 e morreu em 1998. Ele foi membro da Academia de Ciências Pedagógicas, era doutor em psicologia, professor universitário. E pertenceu à terceira geração de psicólogos russos. No Brasil, são recentes os estudos e pesquisas sobre a Teoria do Ensino Desenvolvimental de Davydov. Autores como e Freitas Libâneo (2004), Cedro (2004) e Pérez (2010) descrevem o desenvolvimento desta teoria apontando suas contribuições para o processo de ensino em diferentes esferas.
Uma dessas contribuições é a de que ensinar é uma atividade desempenhada pelo professor. Desta forma, o educador pode optar por dois caminhos destacado pela psicologia: 1) impor ao aluno memorizar conceitos, repetir, copiar e decorar; 2) possibilitar que o aluno aprenda e nesse processo, aconteça o início das principais formações psicológicas básicas da faixa etária que ele se encontra, o desenvolvimento mental desse aluno e o desenvolvimento de sua personalidade. (DAVYDOV, 1988).
Para esta pesquisa, nos baseamos, na segunda opção por acreditarmos que o ensino pode ser organizado com objetivos determinados para a participação ativa do aluno no seu processo de ensino e, principalmente, em sua aprendizagem, levando-o uma instrução significativa quanto ao desenvolvimento intelectual, psíquico e social.
Na Teoria do Ensino Desenvolvimental, Leontiev (1983) dedicou-se aos estudos sobre o desenvolvimento do psiquismo humano, dos processos psicológicos superiores internalizações e da estrutura da atividade global. Posteriormente, Gasperin (2008), considerado discípulo de Davydov (1988), formulou a Teoria do Desenvolvimento Psíquico, em que se destaca o papel das ações externas na formação das ações internas e mentais por meio do ensino. Sobre esse papel, Silva e Oliveira (2000, p. 6) afirmam que:
A formação de uma ação mental começa com ações com objetos, realizadas com apoio de objetos externos e sua representação material, para logo passar por uma série de etapas até se converter em ação que se realiza no plano mental.
Para Davydov (1988), a aprendizagem é uma forma essencial de desenvolvimento psíquico e o caminho lógico para reconhecer as capacidades humanas. A aprendizagem é adquirida por meio da atividade que incorpora a cultura em sua formação, e resulta na aquisição conhecimento teórico, em outras palavras, passa pelos símbolos e instrumentos culturais existentes na sociedade e na aprendizagem de outras áreas do conhecimento.
Davydov (1988) entende que a atividade é constituída de necessidades, tarefas, ações e operações, e que o desejo também é um componente substancial para a atividade, enquanto núcleo básico. Segundo o autor, "O termo desejo reproduz a verdadeira essência da questão: emoções são inseparáveis de uma necessidade" (DAVYDOV, 1988, p.41). Uma vez que as ações humanas estão impregnadas de sentidos subjetivos em várias esferas da vida dos sujeitos, consequentemente, na vida do aluno não é diferente.
Portanto, temos como enfoque o pressuposto básico de que o ensino é a forma necessária para o desenvolvimento da mente, do pensamento e da personalidade da criança. Entendemos que é fundamental formalizar e efetivar uma forma de um ensino que promova uma aprendizagem transformadora e que deriva para uma mudança na qualidade do pensamento das crianças. Segundo Davydov (1988, p. 44), essa forma de ensino deve ser capaz de:
[...] formar nas crianças representações materialistas firmes para produzir nelas o pensamento independente e melhorar significativamente a formação artística e estética, elevar o nível ideológico e teórico do processo de ensino e educação, expor claramente os conceitos básicos e principais ideias das disciplinas escolares, erradicarem quaisquer manifestações de formalismo no conteúdo e métodos de ensino e no trabalho de formação e aplicar amplamente as formas e métodos ativos de ensino, etc.
Nesta perspectiva, Davydov (1988) dedicou seus estudos à Teoria Histórico-Cultural (THC) e à Teoria da Atividade (TA), realizando investigações que possibilitassem propor um método para o processo de ensino denominado: Ensino Desenvolvimental. Assim, nesse presente trabalho nos pautamos na proposta da Teoria do Ensino Desenvolvimental (TED) com objetivo de melhorar a aprendizagem dos alunos quanto ao pensamento geométrico.