FORMAÇÃO DE CONCEITOS MATEMÁTICOS

❈Análise dos dados❈

É necessário que passemos a discutir e refletir sobre o processo de construção do conhecimento matemático (saber/fazer). O ato de conhecer é um movimento histórico essencialmente dinâmico e sem fim, em que o sujeito está intrinsecamente envolvido em um contexto natural, histórico e social (MENDES, 2009).

Nos capítulos anteriores apresentamos uma descrição detalhada quanto à intuição escolhida, o público alvo e as atividades construídas para essa pesquisa. De forma breve, podemos dizer que esta pesquisa dividiu-se em quatro momentos importantes, sendo eles:

1. Realização de leituras para a elaboração do referencial teórico no qual pauta o nosso estudo;

2. Escolha da intuição, público alvo, conteúdo e metodologia para o desenvolvimento das aulas e das atividades sistematizadas;

3. Construção das atividades sistematizadas (experimento didático formativo) a serem desenvolvidas com o auxílio da teoria do ensino desenvolvimental e dos recursos: Hagáquê, História da Matemática e clube da matemática;

4. Desenvolvimento das aulas e aplicação do experimento didático formativo para a coleta de dados.

Em relação ao primeiro momento, fizemos várias leituras e reconhecemos alguns aportes teóricos que refletem sobre o uso da teoria do ensino desenvolvimental, teoria histórico-cultural, experimento didático formativo, tecnologias da informação e comunicação na educação matemática e espaço de aprendizagem (clube de matemática). Todo o processo de construção do referencial teórico se fez importante não somente para as reflexões construídas em cada capítulo, mas para a formação das ações futuras, quais sejam: a) escolha da metodologia a ser usada; b) concepção adotada na elaboração das atividades e c) no desenvolvimento das aulas em que as atividades seriam aplicadas.

Sobre o segundo momento, à instituição e o público analisado foram escolhidos a partir da nota do IDEB, isto é, elegemos uma instituição escolar de menor índice do município para realizarmos o estudo. O critério de seleção ocorreu por acreditarmos na premissa que o ensino pode ser impulsionado e a organização deste, contribui para o desenvolvimento de novas habilidades e conceitos.

Por outro lado, escolhemos trabalhar com o conteúdo de geometria já justificado na introdução, por acreditarmos que existem possibilidades de ensinar sem apreender-se em fórmula e métodos tradicionais. Essa afirmação sobre o ensino/método tradicional vai de encontro com as premissas da teoria do ensino desenvolvimento onde Davydov (1988) considera promissores os esforços dos pedagogos teóricos que buscam romper à visão dominante do ensino, o qual corresponde ao desenvolvimento técnico-científico legitimado a humanidade cuja finalidade é uma educação empírica, utilitária e junto a todas essas requisições, forma-se o pensamento empírico classificador. Segundo esse autor, o conteúdo e método de ensino são particularidades relevantes na construção do pensamento da criança durante a assimilação dos conhecimentos.

No terceiro momento iniciamos com a construção das atividades sistematizadas e optamos por investigar o processo de formação de conceito de volume por meio de atividades organizadas (experimento didático formativo) fundamentada por Davydov (1988), assim como, a organização de um ambiente de aprendizagem denominado neste estudo como clube de matemática e acoplamos a este processo os recursos auxiliares: a) da tecnologia, com o software Hagáquê com a história do objeto (volume) implícito e b) a História da Matemática como um fio condutor no ensino investigatório e na formação da gênese nuclear do conceito.

O quarto momento estará descrito neste capítulo. Buscamos nesta última etapa esclarecer todo o processo de aplicação e os dados que foram coletados. A metodologia do estudo já citada anteriormente é de caráter qualitativo. Além da metodologia, baseamos também nos elementos que norteiam a teoria do ensino desenvolvimento que propõem um movimento dialético entre a interação, diálogo e a formação do conhecimento científico sendo importante esclarecer que esta teoria implica em ações mediadas com fins estabelecidos e um contato mais profundo com o conteúdo.

Desse modo, passamos, agora, para a análise dos dados coletados apoiando-se na pergunta que norteia o presente trabalho, a saber: "A organização do ensino por meio de atividades sistematizadas (experimento didático formativo) pode contribuir na formação do conceito de volume dos sólidos geométricos: cubo, paralelepípedo e pirâmide em alunos do 5º ano do ensino fundamental?".

Desvencilhando um pouco sobre os ensejos da pesquisa e adentrando na análise dos dados, D'Ambrosio (1997) destaca que, o comportamento do indivíduo em relação ao saber/fazer, está diretamente relacionado ao um processo não estático, que transita nos fatos do passado em direção ao presente, gerando assim, uma produção cognitiva no futuro. O nosso trabalho embasa-se também nesta perspectiva e busca propor uma construção do conhecimento matemático (saber/fazer) por meio da interação de atividades investigatórias no ensino de matemática, trazendo um significado mais profundo ao conhecimento desenvolvido em sala de aula. As atividades investigadoras elaboradas neste estudo seguem os seguintes enfoques: a) atividade histórica desenvolvida; b) conexão e c) abstração.

Ambos os enfoques estão internalizados conforme destaca Mendes (2009, p.8):

· As atividades de desenvolvimento são as que permitem ao estudante experimentar um conceito matemático e familiarizar-se com as condições formais de descrição desse conceito;

· As de conexões dão sequência à aprendizagem do conceito matemático, desde que conectem as compreensões conceituais representadas física e oralmente, buscando conduzir o estudante ao processo de representação simbólica;

· As de abstração exploram mais profundamente a representação simbólico de um conceito matemático, tendo em vista explorar a capacidade do aluno em comunicar amplamente as suas ideias matemáticas. Elas são usadas adequadamente quando a exploração dos aspectos físico e oral de um conceito matemático já estiver sido praticada intensivamente por meio das atividades de desenvolvimento e conexão.

Além dos enfoques abordados, a teoria do ensino desenvolvimental contribuiu para o desenvolvimento das atividades e para a compreensão do processo de aquisição do conceito de volume nas figuras geométricas espaciais: paralelepípedo, cubo e pirâmide quadrangular, seguindo as ações de estudo ressaltadas por Davydov (1988), as quais: a) transformações dos dados da tarefa e a identificação da relação universal do objeto de estudo; b) transformação do modelo para estudar as propriedades; c) construção de um sistema de tarefas particulares e d) controle ou monitoramente das atividades realizadas anteriormente.

Todas as ações de estudo citadas por Davydov (1988) foram desenvolvidas por etapas. Na transformação dos dados da tarefa e na identificação da relação universal do objeto estudo - Os sujeitos da pesquisa (24 alunos do 5º ano do ensino fundamental) tiveram a oportunidade de descobrir e familiarizar-se com a relação principal do objeto investigado e identificar as características e particularidade deste objeto por meio da História criada no software Hagáquê, nos debates e no desenvolvimento das atividades de experimentação.

Já nas ações de transformações do modelo para estudar as propriedades- Os alunos após a identificação das relações principais do objeto pode realizar a atividade com o material dourado denominada de atividade de manipulação, em que todos realizaram movimentos e alterações nas peças do material dourado na intenção de reconhecer o volume das figuras. Na relação à construção de um sistema de tarefas particulares - Os sujeitos da pesquisa tiveram em todas as atividades o mesmo objetivo, identificar e formalizar o conceito de volume. Na última ação, controle ou monitoramente das atividades realizadas - Todos os encontros ocorriam um monitoramento das atividades a partir dos debates, realizações das atividades em que os alunos tinham que comunicar-se, ou seja, relatar como foram atingidos os objetivos de cada atividade, oferecendo assim, um movimento dialético e um controle sobre as ações elencadas no experimento didático formativo.

Organizamos o roteiro de aplicação da seguinte forma: a) oitos encontros com 12 alunos no turno matutino e vespertino; b) com uma duração total de 90 minutos cada encontro, sendo: 60 minutos para interação dos alunos com o software e as demais atividades e 30 minutos para debates e reflexões; c) conteúdo: geometria; d) Formação do conceito de volume por meio das atividades organizadas (experimento didático formativo) e, e) aplicação das atividades e coleta de dados.

Assim como planejado, iniciamos as atividades do experimento didático formativo a partir do sexto encontro, todo o planejamento feito para aplicação do experimento contou com a organização de cada encontro e seus objetivos. Descrevemos com mais detalhes sobre os encontros na seção: Desenvolvimento do experimento didático formativo. Mas, vale destacar que, do primeiro ao quinto encontro, apoiamos na teoria do Ensino Desenvolvimento, assim como: a) atividade histórica desenvolvida; b) conexão e c) abstração para atingirmos a essência da teoria do Ensino Desenvolvimental, a saber: 1) reconhecer a importância do objeto de estudo; 2) identificar no surgimento da história do objeto as características que o compõe e a utilidade deste objeto para a sociedade; e 3) compreender a aplicabilidade deste objeto de estudo para a sociedade contemporânea.

As ações metodológicas organizadas e desenvolvidas em cada encontro contribuíram para a formação do conceito de volume de forma implícita. Assim, o aluno tornou-se o personagem ativo para investigar e construir o núcleo do objeto, ou seja, o conceito de volume. Somente no sexto encontro, após os alunos formaram o clube de matemática (ambiente de aprendizagem) e responderem os:

a) questionário 1- Conhecendo os Sujeitos da Pesquisa;

b) questionário 2- As variáveis da pesquisa, (História da Matemática, Hagáquê e Geometria);

c) questionário 3- História de Vida;

d) realizarem as atividades preliminares (diagnósticas);

e) terem contato com o software Hagáquê assim como, ler a história construída neste software e realizar atividade histórica desenvolvida, lembrando que a cada final de encontro, era feito os momentos de debates e reflexões, onde os alunos pudessem expor suas construções e desconstruções acerca do conteúdo trabalhando.

Após estas ações desempenhadas iniciamos a aplicação do experimento no sexto encontro e apresentamos uma pequena introdução sobre o que é volume. Não utilizamos o conceito científico do volume, pois,buscamos nesse primeiro momento compreender quais conhecimentos sobre o volume os alunos trazem para sala de aula. E constatamos que os sujeitos da pesquisa ao serem indagados sobre o que é volume, relataram suas experiências cotidianas, reforçando o conhecimento empírico.

Estabelecemos um diálogo com os alunos, sobre qual a primeira palavra ou frase que vinham em suas mentes quando ouviam a palavra volume, a minoria aproximou-se do conceito de volume construído relatando que o volume poderia ser algo que ocupa espaço. Quanto à maioria arriscou em dizer que volume seria algo que cresce ou aumenta, como por exemplo, o volume do som, uma garrafa vazia ao encher tem-se o volume.

Para Davydov (1988, p. 106), desde dos primeiros indícios da história da filosofia, já existiam reflexões sobre dois tipos de pensamento, o pensamento empírico definido como aquele " [...] orientado a separar e registrar os resultados da experiência sensorial". Enquanto, o pensamento teórico, consiste "em revelar a essência dos objetos, as leis internas de seu desenvolvimento".

Segundo o autor, o pensamento empírico ainda influencia o ensino primário, pois, "os estudantes gradualmente são levados às generalizações por meio da observação e o estudo do material concreto dado visualmente é captado sensorialmente" (DAVYDOV, 1988, p. 103). É sob essa ótica, que o ensino é questionado pelo autor, ele reconhece que o papel da escola é desenvolver o pensamento teórico, que por sua vez, não se manifesta nas generalizações observáveis, mas pela mediação do conhecimento científico.

Após as considerações feitas pelos alunos quanto ao volume, percebemos a necessidade de apresentar alguns exemplos sobre o volume, exibimos em slides algumas situações previamente organizadas com os sólidos geométricos: cubo, paralelepípedo e pirâmide quadrangular em que é possível observar a utilização do conceito de volume na construção do sólido e nas suas três dimensões. Ao finalizar a apresentação, os alunos iniciaram um debate a respeito da primeira atividade do experimento didático formativo feita por eles, a leitura da História: Um turma do Barulho:

As argumentações iniciaram entorno da percepção de alguns alunos quanto à relação que a história lida faz sobre o volume.

Aluno 03: Durante a leitura da história professora, pude perceber que a turma de amigos tinham que resolver enigmas para encontrar o caminho para casa. E alguns desses enigmas eram para calcular o volume de um recipiente.

Aluno 06: É verdade! A turma teve que encontrar uma maneira de calcular o volume para encontrar o caminho de volta para casa

Professora: Como o volume foi representado na história?

Aluno 11: Ora professora! Eles tiveram a ajuda do Frank.

Aluno 10: Havia pistas para encontrar o volume.

Aluno 06: Todos da turma reuniram-se. E perceberam que durante a história, Frank, deixava algumas pistas. E uma delas era sobre a regra do volume, com ela eles encontraram o volume.

Aluno 10: O volume foi representado na história pelas figuras geométricas.

Conforme os relatos descritos acima, podemos notar que um grupo de alunos conseguiu identificar de forma superficial como o volume foi representado na primeira atividade do experimento. E destacaram de início o contexto histórico da narrativa textual, sem prender-se aos aspectos históricos do objeto. Posteriormente, os alunos apresentaram em suas falas a relação de uma regra para calcular o volume. Esta observação nos leva refletir sobre o processo de aquisição do conhecimento científico e a formação do pensamento teórico que por sua vez, garante ao aluno após a formalização do pensamento, aplicá-lo em qualquer momento ou situação que lhe convir.

Ao término desse debate, iniciamos outro questionamento ainda referente à primeira atividade:

Professora: Para vocês, houve momentos importantes que marcaram a descoberta do volume na Hagáquê titulada: Uma História do Barulho?

Aluno 13: Sim! Quando Frank trazia informações sobre a forma como os homens criavam os seus objetos e como eles usavam a matemática.

Aluno 18: Concordo com o colega sobre as informações passadas pelo aprendiz de feiticeiro (Frank). Mas, o que me chamou mais atenção foi o filme da Matemágica onde Donald mostra que a matemática está por toda parte e que o homem a utiliza em diversas situações.

Aluno 07: O momento mais importante percebido por mim na H.Q foi quando os personagens contaram os acontecimentos da matemática na vida humana.

Aluno 19: Aprendi muitas coisas, uma delas é que nós temos uma história e com a matemática não é diferente, ela também tem uma história.

Somado a esses relatos, Pais (2006, p. 8) destaca que:

O exercício da dúvida já sinaliza uma disponibilidade de espírito para cultivar o eterno retorno na busca de novos conhecimentos, porque as turbulências pertencem à essência comum ao ensino e à aprendizagem, fazendo com que toda experiência cognitiva tenha uma dose de incerteza.

Ponderamos que, a história da matemática também apresenta em sua construção um grau de complexidade, pois exige uma reflexão diante dos acontecimentos, rupturas, retornos, e esses obstáculos relacionam-se com as ações de aprender e de ensinar. Desta forma, podemos compreender que há nas falas dos alunos uma formação ingênua sobre a história da matemática e a história do objeto. Porém, não podemos negar que a história foi reconhecida por alguns alunos como parte importantes na construção do conceito do volume. E observamos que a história representou um fio condutor para a formalização do conceito nuclear do volume. Quando indagados os alunos sobre o que marcaram a descoberta do volume, muitos se posicionaram sobre a história lida de formar geral, optaram pela objetividade, no sentido de serem objetivos em suas falas. O primeiro aluno expos um aspecto da história da matemática na perspectiva de informação, quando os demais discursaram sobre a praticidade da matemática e sua utilidade, assim como, as descobertas da matemática para a humanidade e por último, a relevância de conhecermos o papel da história nos aspectos culturais e sociais.

No terceiro e último questionamento a respeito da primeira atividade do experimento, perguntamos:

Professora: Você identificou na H.Q a história do objeto (volume)?

Aluno 20: Sim! Descobri que antigamente os homens usavam a geometria sem saber que usavam. E o volume foi descoberto através da necessidade que os homens tiveram em guardar seus alimentos.

Aluno 04: Sim, quando Frank disse que há muito tempo atrás os homens trocavam mercadores e tiveram que criar um sistema de medidas para cobrar e pagar o que comprava.

Aluno 02: Compreendi que o volume foi descoberto há muito tempo atrás para guardar comidas.

Aluno 15: Sim! A história do volume demostra a sua importância para vida do homem onde ele começou a usar o volume para pesar o alimento e para fazer trocas.

Percebemos neste questionamento que os alunos identificaram nos episódios lidos a "história do objeto" (volume) e a "história da matemática" como sendo histórias relevantes que: informar é útil e necessária para o desenvolvimento humano. Além disso, serve para a compreensão de fatos e acontecimentos ocorridos em épocas passadas. Os alunos destacaram também que a história permeia as descobertas e remete aos leitores o processo da sua criação. Isso trouxe questionamentos sobre a fidelidade dos fatos. Os grupos discutiram sobre a relevância de reconhecer as fontes. Nesse momento, alguns alunos chamaram a atenção para um dos personagens da história em quadrinhos: Frank o mago, e relataram que este personagem por estar dentro da história, contava os fatos históricos com propriedade, pois, estava próximo das fontes.

Notamos que neste questionamento, a argumentação dos alunos prevaleceu em relação aos outros, visto que, a estranheza e o confronto em receber fatos históricos e aceitá-los como prontos proporcionou um diálogo enriquecedor sobre o processo da história e suas particularidades quanto aos aspectos socioculturais e os seus registros. Embora, percebemos que houve uma formação superficial e não profunda, verificamos por meios dos relatos que houve indícios de um reconhecimento sobre a história e alguns momentos um confrontamento dos fatos recebidos como certos, despertando nos alunos incertezas e levando-os a repensarem nos acontecimentos que recebem como prontos.

Segundo Kopin (1978, p. 183-184), o termo histórico é defino como "o processo de mudança do objeto, as etapas de seu surgimento e desenvolvimento" e o lógico "a reprodução da essência do objeto e da história do seu desenvolvimento no sistema de abstração". Nesta mesma linha, Duarte (1987, p.13) ressalta que:

A história frequentemente se move através da ziguezagues, de avanços e recuos, de desvios, sofre acidentes de percurso, passa por etapas meramente acidentais. Para se conhecer o processo de desenvolvimento de um conhecimento ou de um determinado aspecto da realidade é preciso conhecer a essência da evolução histórica. Isso significa selecionar o que é secundário do que é principal o que é necessário do que é acidental etc. Essa distinção é decisiva, pois ela mostra o erro do historicismo, que espera conhecer a realidade simplesmente conhecendo a historia da realidade, não fazendo distinção entre a história e o processo. O processo é a essência da evolução histórica.

Por isso, vale destacar que conhecer o processo da evolução histórica contribui para o desenvolvimento da abstração do conhecimento e torna-se parte lógica para aprendizagem.

Panizza (2011, p. 13) esclarece os objetivos da geometria nos anos iniciais:

De um lado, para a construção de conhecimento cada vez mais próximo de 'porções' de saber geométrico elaborados ao longo da história da humanidade. E, em segundo lugar, e talvez seja o mais importante, para a iniciação de um modo de pensar próprio do saber geométrico. Ambos os objetivos estão intimamente imbricados.

Diante dos objetivos da geometria nos anos iniciais explicitados por Panizza (2011), o movimento dialético ocorrido nos momentos de confrontos, reflexões e posicionamentos de ideias dos alunos quanto à aplicação do experimento didático formativo, aproximou-se do saber geométrico no que refere à identificação do que foi elaborado ao longo da história da humanidade e fez com que os alunos pudessem refletir sobre o pensar próprio do saber geométrico nas atividades propostas e neste caso, conhecendo a história nuclear do objeto de estudo: volume.

Dando prosseguimento à segunda atividade: Experimentação do volume com o material dourado, (apêndice 11), composta por 11 desafios em que os alunos foram desafiados a resolver os exercícios com o auxílio do material dourado e com esse material, realizar experimentações a fim de encontrar o volume e identificar o conceito deste por meio do processo reconhecimento da conexão externa para posteriormente formar a conexão interna do conteúdo. Diante das características da segunda atividade, seguimos com os questionamentos:

Professora: Relembrando um pouco sobre a história da: Turma do Barulho, reconhecemos à importância da história da matemática em diferentes momentos da evolução do homem em suas descobertas, assim como, a história do volume. Vimos que a turma do barulho teve ao longo da história desvendar alguns enigmas para encontrarem o caminho de casa. Agora, a missão é com vocês alunos do clube de matemática, resolverem 11 desafios sobre o volume.

Professora: Reconheça por meio do material dourado, o que é unidade, dezena e centena.

Aluno 13: A Dezena é representada pela barra, quanto à unidade pelo cubinho.

Aluno 01: A unidade é o cubo e a centena é a barra e 1 milhar o cubo maior.

Alunos 12: Podemos usar também 10 placas para representar 1 milhar.

O primeiro desafio foi somente para os alunos reconhecerem o material dourado. A maioria soube manipular e usá-lo conforme o solicitado na atividade. Seguimos com o segundo desafio:

Professora: Represente um cubo com as seguintes dimensões: 1 cm de aresta.

Nesse momento, os alunos começaram a criar hipóteses sobre a representação do cubo de 1cm de aresta. A maioria usou um cubinho para a representação, chegaram a essa conclusão depois de algumas tentativas e argumentaram:

Aluno 04: Essa me pegou! Mas, quando coloco dois cubinhos vejo que não forma cubo.

Aluno 08: Foi fácil, é só imaginar o cubo e representar com material dourado, se eu usar a barra não vai formar cubo. Só formo o cubo quando coloco o cubinho.

Ao analisarmos esses dois relatos, percebemos que os alunos buscaram na generalização artifícios para chegarem às particularidades. Isso mostra que a aprendizagem do conceito requer atenção à rigidez ou flexibilidade em que apresentamos o conceito. Desta forma, há nas falas dos alunos apresentações externas do fenômeno e as tentativas de síntese para chegar à representação. (SEMENOVA, 1996).

No terceiro desafio:

Professora: Agora que você já reconhece um cubo com arestas de 1 cm, represente um cubo com 3cm de arestas e calcule o seu volume.

Os alunos iniciaram neste desafio um diálogo com os colegas que estavam mais próximo, indagando e sugerindo outros caminhos. A maioria dos alunos soube construir a figura, identificaram as arestas e arriscaram dizer o volume e o processo usado para encontrá-lo, houve algumas intervenções no sentido de provocar induções e fazer com que os alunos pudessem encontrar o volume usando as suas estratégias:

Professora: Como vocês identificaram o volume no cubo?

Aluno 16: No início fiquei com dúvida, mas ao montar o cubo, percebi que os lados tinham nove cubinhos cada, então, contei todas e cheguei ao resultado.

Aluno 14: Eu multipliquei as arestas e encontrei o volume do cubo que tem as dimensões iguais.

Aluno 07: Foi até fácil, como todos os lados eram iguais, somei todos e achei o valor do volume.

Aluno 22: Usei a regra do cubo e multipliquei as arestas e encontrei o volume.

Diante dos relatos, notamos que os alunos encontraram o valor do volume na figura do cubo, por meio de estratégias particulares de cada um, mas todas essas estratégias levaram a solução do desafio. Teve um pequeno grupo que intimidou-se no início do desafio, perderam-se na manipulação e nesta hora, aproximei do grupo e lancei questionamentos para provocar a investigação, logo os integrantes começaram a discutir como chegar ao volume e partiram para contagem numérica.

Após o encontro da medição do volume por meio da manipulação do material dourado, os alunos tiveram que registrar na folha do desafio a resposta encontrada. Assim, Davydov (1982) afirma:

O processo mesmo da abstração consiste em elucidar a independência de estado ou situação de qualquer objeto considerado com respeito a certos fatores. Como resultado, esse objeto inicial se substitui mentalmente por outro; por seu modelo, e no trabalho sucessivo com o mesmo já não se considera tais fatores. [...] Em outros termos, como resultado da abstração se obtém um novo objeto idealizado, mentalmente correlativo com umas condições as que não cooperava o objeto inicial. A estruturação deste novo objeto aparece como determinado procedimento da atividade: como processo abstrativo, cuja matéria é a inter-relação da dependência e a independência dos fatores que caracterizam a existência do objeto real (DAVYDOV, 1982, p. 302).

Depois da resolução do desafio por meio da construção do objeto inicial juntamente com a criação de um modelo, os alunos empoderou-se de uma síntese, na qual, o processo dialético entre a investigação, estratégia utilizada e o cálculo do volume resultou na abstração do processo de medição do volume e nesta fase os alunos começaram a refletir sobre o conceito nuclear e identificar a sua utilidade.

Os desafios quatro, cinco, sete, oito e nove apresentaram em suas composições semelhanças com o relato descrito acima. Os alunos tiveram o interesse em encontrar o a medição do volume e apropriaram-se da contagem, ou seja, uns somaram as arestas, outros multiplicaram e uma minoria recorreu às fórmulas do volume citada na história da Turma do Barulho. Esse movimento ocorre segundo Davydov (1982), pelo desenvolvimento do pensamento a partir da sensibilidade humana, em que o aluno utilizou-se de um registro que se formou diante da compreensão histórica lida, este é o elo entre as ações objetais e as representações.

Um fator importante ocorrido no desafio seis foi a mudança do questionamento sobre o volume:

Professora: desafio seis- Nessa mesma figura (figura cinco formada) adicionamos mais 2cm na altura, quanto de volume ficou?

Aluno 18- Nesse desafio, fiz duas tentativas, a primeira, acrescentei uma dezena. A professora pediu que eu lesse novamente o desafio e percebi que não era só uma dezena e sim duas, porque estava pedindo para adicionar 2 cm de altura na figura.

Aluno 03- Eu confundi, coloquei duas unidades a mais e percebi que a construção do meu objeto estava estranha. E olhei a do colega e percebi que tinha errado. Juntamente com o grupo, vi que a figura deve ser construída e a altura era acrescida por duas dezenas que representava os 2 cm.

Aluno 15- Nosso esse foi um pouco complicado. Mas percebi que deveria complementar a figura com 2 cm de altura.

Ao referirmos sobre o desenvolvimento cognitivo dos alunos quanto à mudança do desafio proposto, vimos que eles tiveram certo obstáculo com a dimensão altura, pois tiveram que transformar a figura do objeto inicial formado no desafio cinco e acrescentar 2cm de altura, nesse momento, percebemos que houve dúvidas e incertezas sobre a quantidade para representar e onde era altura conforme os relatos acima. Para que eles pudessem encontrar um caminho para resolução, foi sugerido a eles que relessem o desafio e procurasse uma estratégia para descobrirem o volume da figura. Desta forma, a turma buscou a medicação e encontraram. Para tanto, Leontiv (1978), pondera que o sujeito deve estar em um movimento cognitivo trajado pela organização da atividade e pela a inserção do sujeito nesta, o que possibilita a compreensão dos fenômenos ou dos objetos do meio.

No desafio nove, os alunos conseguiram de imediato reconhecer que a atividade de mediação do volume se tratava de um cubo e perceberam neste exercício que as arestas são iguais, ou seja, o cubo é constituído por lados iguais. Davydov (1988, p. 178) afirma que:

[...] a necessidade da atividade de estudo estimula os escolares a assimilarem os conhecimentos teóricos, ou seja, os motivos, que lhes permitem assimilar os procedimentos de reprodução destes conhecimentos por meio das ações de estudo, dirigidas a resolver as tarefas de estudos (recordamos que a tarefa é a unidade do objetivo da ação e as condições para alcançá-lo).

Assim, podemos concluir que a organização das atividades juntamente com o teor investigatório das mesmas ampliou os motivos para os alunos buscarem estratégias para encontrar as medições do volume nas atividades propostas. Intuímos diante dos relatos e da observação participante que o experimento didático formativo auxilia o ensino em diversos aspectos dentre eles, podemos destacar: a) percepção, b) capacidade de formar objetos e representá-los, c) favorece a abstração, d) induz a generalizações, e) discriminações, f) classificações e g) a formação do conceito de volume nos sólidos geométricos: cubo, paralelepípedo e pirâmide quadrangular.

No último aspecto sobre a formação do conceito, vislumbramos indícios do conceito nuclear do volume, porém, notamos que os alunos adquiriram uma síntese sobre o conceito preservando características importantes do volume. Isso demostram que a organização das atividades facilitou a abstração do conceito para a maioria dos sujeitos de formar rudimentar conforme as suas palavras:

Aluno 18- Volume é quando um recipiente torna-se cheio. Mas, o volume não é o líquido e sim a capacidade de armazenar.

Aluno 14-Aprendi várias coisas, como saber identificar o volume e calculá-lo. Volume é a quantidade de espaço ocupada por um corpo. E para calcular, é só identificar as suas dimensões, seus valores e realizar a operação.

Aluno 24-Volume é a capacidade de armazenamento de um objeto.

Desta forma, o conceito de volume formado pelos alunos transitou no conceito científico requerido para este estudo: "Volume é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo".

Na última atividade: Validação do Conceito Nuclear do Objeto, constatamos que os alunos adquiriram uma noção geral sobre a geometria e iniciaram um processo de reconhecimento e em seguida partiram para um método próprio onde cada grupo usou uma estratégia. Ao aplicarmos a atividade de validação, percebemos o desenvolvimento das seguintes habilidades adquiridas pelos alunos durante a segunda atividade: a) familiarização com as figuras geométricas e b) a busca de um procedimento para resolver as questões. Notamos diante destas habilidades construídas que a maioria dos alunos iniciaram e intermediaram o processo investigatório da questão, porém, a maior parte não atingiu a resposta correta. Veja abaixo a primeira questão da segunda atividade de validação:

1- A preocupação com o cálculo de volume é antiga. Há milhares de anos, a civilização egípcia já aplicava alguns processos para esse cálculo. Os habitantes da Grécia Antiga aperfeiçoaram e desenvolveram outros tipos de cálculos. Arquimedes viveu no século III a.c, ele desenvolveu raciocínios bastante criativos e mostrou como calcular o volume de diversas figuras. Conta-se que, enquanto tomava banho em uma banheira, Arquimedes constatou que a água subia quando ele mergulhava. Essa quantidade de água que subia, tinha volume equivalente ao volume de seu corpo. Responda:

a- Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base, um retângulo horizontal de lados 0,8m e 1,2m. Uma pessoa, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nível de água subir 0,075m. Então o volume dessa pessoa em m3 é?

Os alunos souberam interpretar a primeira questão, compreendendo a contextualização histórica do objeto (volume), assim como, a identificação da figura do paralelepípedo e as suas dimensões, onde a maior parte dos alunos identificaram que as dimensões eram distintas. Mas ao prosseguir no processo de resolução total da atividade não conseguirem realizar a multiplicação dos números decimais. O aluno 15, consegui reconhecer as dimensões e arriscou calcular, porém, somou os valores numéricos da questão. Já o aluno 08, fez a representação do objeto, colocou os valores e multiplicou, mas não conseguiu finalizar a conta. E o aluno 16, uniu todas as dimensões e somou. Nesta atividade, buscamos apenas mediar alguns pontos como, por exemplo: relembrar o que é horizontal, pedir aos alunos para formalizarem o objeto inicial e consequentemente produzirem a sua representação para em seguida realizar o cálculo. Não houve induções e os resultados qualitativos obtidos nesta primeira questão mostra que os alunos desenvolveram um método para resolver as questões sobre a geometria especificamente, medição do volume. Desta forma, apropriaram-se de estratégias próprias, mas sem desviar totalmente do caminho científico. O objetivo principal desta atividade era reconhecer o processo usado pelos alunos para encontrar o volume e consequentemente internalizar o conceito de volume.

Dando continuidade a análise, a segunda questão de validação foi:

2- Uma barraca em forma de pirâmide é sustentada por 4 hastes metálicas como mostra a figura. Os lados têm todo o mesmo comprimento, que é 2 cm. Se a altura da barraca é de 3 cm, qual é o volume de ar nessa barraca?

Ao aplicarmos a atividade para o calculo da medição do volume da pirâmide, torna-se importante esclarecer que na atividade de manipulação, nos desafios, preparamos no exercício onze um experimento para que os alunos pudesse comprovar o volume da pirâmide quadrangular. Além da experimentação, passamos também um vídeo que representava o volume da pirâmide por meio da planificação de três pirâmides com base quadrangular iguais, porém, com lados distintos em que estas pirâmides acomodavam-se em um cubo, mostrando aos alunos o porque da regra da pirâmide ser V= abxh/3.

Ao apresentar a experimentação juntamente com a planificação do cubo e das pirâmides os alunos sentiram motivados a realizar todos os experimentos. Ao apresentar o cubo fechando, indaguei a todos sobre a possibilidade de ter três figuras geométricas dentro do cubo. Todos suspeitaram da minha fala, e apenas alguns alunos arriscaram em dizer que eram três pirâmides, por ouvirem e verem no vídeo. Após as argumentações, apresentem a todos as três pirâmides e expliquei novamente sobre a regra que calcula o volume da pirâmide. Os grupos partiram para a experimentação e perceberam por meio do material a regra da pirâmide e verificaram a regra fazendo a medição do volume. Nessa última atividade de experimentação, pedimos aos alunos que fizessem o registre ou desenhasse o resultado de todo o processo de experimentação. A maior parte dos alunos fez o desenho apresentando passo a passo da experimentação e descreveram como a regra da pirâmide é representada destacando nos registros o porquê da área da base é multiplicada pela altura e divido por três. A minoria consegui internalizar a regra do volume da pirâmide e destacaram em suas falas que a área da base do cubo multiplicada pela altura ( altura do cubo) divido por três achariam o volume.

Contudo, ao término da análise dos dados, constatamos que os sujeitos da pesquisa conseguiram internalizar o conceito de volume, soube também em alguns momentos distinguir o processo de medição do volume nos sólidos apresentados. Quanto ao volume da pirâmide, podemos notar que houve dúvidas e a minoria conseguiu compreender a regra, mas ao realizarem a atividade de validação, demostraram indícios de formação de conceito. Por isso tudo, podemos intuir que, o experimento didático formativo favorece a formação de conceitos e auxilia no desenvolvimento de habilidades no campo da matemática.